Search:

Інтегрування раціональних функцій

Реферати » Математика » Інтегрування раціональних функцій

План

Інтегрування раціональних функцій

Прості раціональні дроби

Неправильні раціональні дроби

Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського

1. Інтегрування раціональних дробів

Прості раціональні дроби

Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :

,

де –дійсні числа ; – ціле число , тобто не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел .

Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :

в) ;

г)

Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на деяку константу .

Маємо

.

Отже,

Якщо позначити

, то одержимо

то одержимо

Тому

Щоб одержати кінцевий результат, досить повернутися до змінної і замінити та їх значеннями.

г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й третій, зведеться до вигляду

Тому

Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою (9.3).

Неправильні раціональні дроби

Раціональний дріб має вигляд , де і - поліноми за степенів, відповідно і . Якщо степінь полінома не менший за степінь полінома , тобто то дріб називається неправильним. Якщо ж степінь полінома менший, ніж степінь полінома , то дріб називається правильним. Усякий неправильний дріб може бути поданий сумою деякого полінома (ціла частина дробу) степеня і правильного дробу. Цілу частину неправильного дробу можна виділити прямим діленням чисельника на знаменник. Ділення це продовжується доти, поки остача від ділення (це буде деякий поліном або просто число) матиме менший степінь, ніж степінь полінома, що є дільником.

Приклад 1. Виділити цілу частину дробу

Оскільки і , то дріб неправильний. Ми можемо безпосередньо виділити цілу частину, додавши і віднявши в чисельнику 8:

Приклад 2. Виділити цілу частину дробу

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5 


Подібні реферати:

Інтегральне числення. Невизначений інтеграл

Означення: Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx . Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжка, на якому вона розглядається. Приклад: Первісні для функції мають вигляд: причому, F1(x), F2(x) — неперервні R, a F3(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі первісні Fi(x) і = 1,2,3, знайдені методом добору із на­ступною ...

Зв’язок між розв’язками прямої і двоїстої задач. Геометрична інтерпретація двоїстих задач

Розглянемо кілька двоїстих задач, утворену основною задачею лінійного програмування і двоїстої до неї. Вихідною задачею є: найти максимум функції (1) при умовах (2) (3) Двоїста задача: знайти мінімум функції (4) при умовах (5) Кожна з задач двоїстої пари (1) — (3) і (4), (5) фактично є самостійною задачею лінійного програмування і може бути вирішена незалежно одна від іншої. Однак при визначенні симплексним методом оптимального плану однієї з задач тим самим знаходиться рішення й інша задача. Існуючі залежності між ...

Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння (1) де - сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі (2) Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі (3) Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним. Нагадаємо, що оператор зсуву S (4) Далі, ...