Search:

Інтегрування раціональних функцій

Реферати » Математика » Інтегрування раціональних функцій

План

Інтегрування раціональних функцій

Прості раціональні дроби

Неправильні раціональні дроби

Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського

1. Інтегрування раціональних дробів

Прості раціональні дроби

Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :

,

де –дійсні числа ; – ціле число , тобто не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел .

Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :

в) ;

г)

Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на деяку константу .

Маємо

.

Отже,

Якщо позначити

, то одержимо

то одержимо

Тому

Щоб одержати кінцевий результат, досить повернутися до змінної і замінити та їх значеннями.

г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й третій, зведеться до вигляду

Тому

Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою (9.3).

Неправильні раціональні дроби

Раціональний дріб має вигляд , де і - поліноми за степенів, відповідно і . Якщо степінь полінома не менший за степінь полінома , тобто то дріб називається неправильним. Якщо ж степінь полінома менший, ніж степінь полінома , то дріб називається правильним. Усякий неправильний дріб може бути поданий сумою деякого полінома (ціла частина дробу) степеня і правильного дробу. Цілу частину неправильного дробу можна виділити прямим діленням чисельника на знаменник. Ділення це продовжується доти, поки остача від ділення (це буде деякий поліном або просто число) матиме менший степінь, ніж степінь полінома, що є дільником.

Приклад 1. Виділити цілу частину дробу

Оскільки і , то дріб неправильний. Ми можемо безпосередньо виділити цілу частину, додавши і віднявши в чисельнику 8:

Приклад 2. Виділити цілу частину дробу

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5 


Подібні реферати:

Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно ма­лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи­наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть­ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто . Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера­ми α,β,γ. Наприклад, величина при є нескінченно малою. Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне ...

Математика - відкриття впродовж століть

Математика - сукупна назва багатьох математичних наук. Основними з них є: арифметика, алгебра, геометрія і математичний аналіз. Слово "математика" використовували у Стародавній Греції приблизно в V ст. нашої ери послідовники легендарного Піфагора - так звані "піфагорійці". Походить воно від слова "матема", що означає "вчення" або "знання". Давні греки визнавали тільки 4 матема: вчення про числа (арифметику), вчення про фігури (геометрію), вчення про пропорції в природі та ...

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

План Основні теореми диференціального числення Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коші Правило Лопіталя Формула Тейлора для многочлена Формула Тейлора для довільної функції Формула Тейлора для функції двох змінних 6.12. Основні теореми диференціального числення У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним ...