Search:

Інтегрування раціональних функцій

Отже,

.

Інтегрування правильного раціонального дробу

Якщо дріб неправильний, то розклавши його на суму цілої частину і правильного раціонального дробу, будемо інтеграл розглядати як суму інтегралів. Інтегрування цілої частини (полінома степеня ) не представляє ніяких труднощів. Тому розглянемо саме інтегрування правильних раціональних дробів.

Саме визначення простих дробів вказує на те, що перш ніж розкладати правильний дріб на прості, треба знаменник правильного дробу розкласти на прості множники. Під простими множниками розумітимемо множники вигляду і

Нехай знаменник правильного дробу має вигляд

,

де всі - дійсні числа. Тут коефіцієнт при вважаємо таким, що дорівнює одиниці, яка не зменшує загальності міркувань, бо у випадку наявності при коефіцієнта завжди можна чисельник і знаменник дробу поділити на Згідно з основною теоремою алгебри поліном – го степеня має рівно коренів на множині комплексних чисел.

З алгебри відомо також, що коли поліном з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь вигляду , то він має і спряжений йому корінь , тобто комплексні корені входять у поліном комплексно спряженими парами.

Згідно з теоремою Вієта поліном розкладається на множники вигляду , де - корені полінома, тобто

Нехай і - комплексно спряжені корені. Тоді їм відповідатиме в розкладі два множники і . Їх добуток

Отже, кожній спряженій парі комплексних коренів відповідає множник вигляду . Серед коренів полінома можуть виявитися кратні. Якщо врахувати це, то розклад полінома на множники запишеться так:

(8.21)

де - кратності дійсних коренів, - кратності пар комплексно спряжених коренів.

Нехай правильний дріб має вигляд , де і – степені поліномів і і розкладається на множники так, як це показано в (8.21). У курсі алгебри доводиться, що кожному простому дійсному кореню відповідає простий дріб , а - кратному відповідає сума простих дробів:

Кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає простий дріб вигляду , де кожній - кратній парі комплексно спряжених коренів відповідає сума простих дробів:

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5 


Подібні реферати:

Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів при вивченні математики

План. І.Вступ. ІІ. Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів на уроці. Розвиток пізнавального інтересу учнів. Прийоми активізації уваги учнів. Використання аналітико-синтетичного методу. Роль проведення короткочасних повідомлень, підготовлених учнями. Творчі завдання - засіб активізації пізнавальної актиності учнів. Шляхи розвитку інтуїції школярів. Дослідницький метод. Проблемний метод. Шляхи формування творчої самостійності учнів. Шляхи вирівнювання знань і вмінь учнів із слабкою підготовкою. ІІІ. ...

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до­рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна­слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ­номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе­ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на­зивають ...

Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

План Ознаки порівняння рядів з додатними членами Ознака Даламбера Радикальна ознака Коші Інтегральна ознака Коші 13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми. Нехай задані два ряди з додатними членами (13.4) (13.5) Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто , то із збіжності ряду ...