Search:

Інтегрування раціональних функцій

Розглянемо конкретний приклад розкладу на прості дроби правильного раціонального дробу

в якому знаменник уже розкладений на множники. Коренями знаменника є однократний корінь 1, двократний корінь 2, двократна пара комплексно спряжених коренів (корені рівняння ), однократна пара комплексно спряжених коренів (корені рівняння ).

Отже , заданий дріб може бути поданий як

де - невідомі коефіцієнти , які треба обчислити, виходячи з того, що написана рівність є тотожністю. Її можна записати , звільнившись від знаменників:

Якщо прирівняємо коефіцієнти за однакових степенів у правій і лівій частинах одержаної тотожності після того, як у правій частині будуть виконані дії і згруповані члени з однаковими степенями , то одержимо систему дев’яти лінійних рівнянь із дев’ятьма невідомими відносно невідомих коефіцієнтів, які й знайдемо із вказаної системи рівнянь. У курсі алгебри доведено, що необхідна система рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів завжди має єдиний розв’язок .

Але можна зробити інакше : в написану тотожність замість по черзі підставити корені знаменника дробу ( хоч можна замість підставляти довільні числа.). В результаті одержимо шість невідомих коефіцієнтів. Отже, залишиться знайти ще три коефіцієнти .

При , а при , при матимемо , Звідси дістаємо систему рівнянь з якої знаходимо . При аналогічно знайдемо . Отже, залишилися невідомими . Їх можна знайти, підставляючи в тотожність замість , наприклад, . Із врахуванням значень з системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими можна визначити .

Якщо безпосередньо скористатись тотожністю і зрівняти коефіцієнти за однакових степенів у правій і лівій частинах, то одержимо таку систему рівнянь: Після визначення всіх невідомих коефіцієнтів цієї системи рівнянь вже легко буде проінтегрувати заданий дріб, користуючись формулами простих раціональних дробів (п. 9.7.1).

Якщо знаменник раціонального дробу має лише прості корені (дійсні або комплексні), то невідомі коефіцієнти найпростіше можна знайти підстановкою коренів знаменника в тотожність (такого самого типу, що і у попередньому прикладі) замість .

Приклад. Обчислити інтеграл:

Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо знаменник на множники

Тоді розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби:

=

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5 


Подібні реферати:

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до­рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна­слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ­номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе­ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на­зивають ...

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

План Визначення та обчислення об’єму тіла Обчислення об’єму тіла за площами його поперечних перерізів Обчилення об’єму тіла обертання Обчислення об’ємів 1.Обчислення об’єму тіла за його за площами поперечних перерізів На рис. 10.5 задано тіло, що обмежене зверху поверхнею , а також площинами , , , . Нехай треба визначити будь-яку площу перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі . Виділимо в тілі частинку, одержану двома паралельними перерізами, віддаленими один від одного на величину .Тоді об’єм виділеної частини ...

Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів при вивченні математики

План. І.Вступ. ІІ. Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів на уроці. Розвиток пізнавального інтересу учнів. Прийоми активізації уваги учнів. Використання аналітико-синтетичного методу. Роль проведення короткочасних повідомлень, підготовлених учнями. Творчі завдання - засіб активізації пізнавальної актиності учнів. Шляхи розвитку інтуїції школярів. Дослідницький метод. Проблемний метод. Шляхи формування творчої самостійності учнів. Шляхи вирівнювання знань і вмінь учнів із слабкою підготовкою. ІІІ. ...