Search:

Інтегрування раціональних функцій

*

Одержимо

і

Виділення раціональної частини інтеграла.

Метод Остроградського

Розглянемо правильний раціональний дріб . При розкладі його на прості дроби одержимо таку суму простих дробів:

(8.22)

Перша група доданків у цій сумі в результаті інтегрування дає

,

тобто ірраціональний вираз. Друга група доданків, якщо її проінтегрувати, буде такою:

.

Третя група доданків після інтегрування:

.

Використовуючи рекурентну формулу, зведеться до суми правильного раціонального дробу і з деяким числовим множником . Якщо (8.22) проінтегрувати і додати всі дроби раціональної частини інтеграла, одержимо правильний дріб вигляду , де

, а - поліном, степінь якого буде меншим, ніж степінь полінома в знаменнику. Тому

, (8.23)

де - теж раціональний дріб, усі множники знаменника якого

або лінійні, або квадратні в першому степені, або їх комбінації, причому .

Із (8.23) знаходимо

(8.24)

Тут поліноми і - невідомі, степені їх треба брати на одиницю меншими, ніж степені в знаменнику, при цьому їх треба записувати з невизначеними коефіцієнтами, які знаходять так само, як і в разі розкладу раціонального дробу на прості дроби. Але перш, ніж звільнитися від дробів у (8.24), треба скоротити дріб, одержаний від диференціювання, на спільні множники чисельника і знаменника, якщо у знаменнику були степені множників більші за одиницю. У всіх випадках після диференціювання знаменник дробу повинен дорівнювати .

Приклад.

.

Р о з в ‘ я з о к. Підінтегральну функцію, користуючись формулою (8.24), подамо у вигляді

де - невідомі числа.

Розглянемо дріб ,

де .

Тоді

Тут здійснено скорочення на . Якщо цього не зробити, то далі виникнуть труднощі, викликані тим, що отримаємо систему рівнянь, в якій буде більше рівнянь, ніж невідомих коефіцієнтів.

Для визначення невідомих коефіцієнтів одержимо таку систему рівнянь:

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5 


Подібні реферати:

Тригонометричні функції

1. Стисненням заготовки на прокатному стані на­зивають величину де і — товщини заготовки до і після прокатування. Доведіть, що -, де d — діаметр вала і — кут захвату. Вказівка. З прямокутного трикутника АОВ: ОВ = 0,5d cos, = 2. 2. Схили двосхилого і схили ABFE і CDEF чотири­схилого даху з горизонтальною площиною утворюють кут , а схили ADE і BCF — кут . Для якого даху — дво- чи чотирисхилого потрібно менше мате­ріалу? Вказівка. Площа двосхилого даху , а чотирисхилого - . Щоб порівняти ці площі, розглянемо їх різницю ...

Циліндр

Це фігура, що складається із двох кіл, що сполучають паралельним переносом і всіма відрізками, що з'єднують відповідні крапки цих кіл. Властивості: 1. Основи рівні й паралельні . 2. Твірні рівні й паралельні (із властивостей паралельного переносу, по властивості паралельних площин). Циліндр називається прямим, якщо твірні перпендикулярні основі. У прямому циліндрі : вісь = висота = твірна. Переріз: Осьовий переріз Бічна поверхня циліндра: L-довжина кола L=2ПR ...

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду

План Розвинення функції у степеневий ряд. Контрольні запитання Яке розвинення в степеневий ряд функції ex. Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x. Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x. Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x Література Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с. Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має ...