Порівняння функцій та їх застосування

ЗМІСТ

Вступ 3

1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4

§1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4

§2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9

§3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18

§4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21

ВИСНОВОК 26

Вступ

Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y – залежною змінною, або функцією.

В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі важливі границі; способи порівняння функцій та ін.

Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати розв’язанням вправ

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ

ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ

В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться надалі.

Лема 1.

(1.1)

Доведення. Розглянемо круг радіусом R з центром в точці О. Нехай радіус 0В утворює кут , з радіусом ОА. З’єднаємо точки А і В відрізком і проведемо з точки А перпендикуляр до радіуса ОА до перетину в точці С з продовженням радіуса 0В (мал. 28). Тоді площа трикутника АОВ рівна , площа сектора AОB рівна а площа трикутника АОС рівна Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною трикутника АОС; тому

звідки

отже,

або, замінюючи величини їм оберними

(1.2)

Зауважимо, що через парність функцій і нерівність (1.2) справедлива і при . Оскільки функція неперервна і , то з (1.2) при слідує рівність (1.1).

Наслідок 1.

(1.3)

Дійсно,

Наслідок 2.

(1.4)

Функція строго монотонна і неперервна на відрізку , тому обернена функція також строго монотонна і неперервна на відрізкуе . Оскільки , то записи і еквівалентні. Щоб обчислити границю (1.4), застосуємо правило заміни змінної для границю неперервних функцій. Поклавши , маємо

Наслідок 3.

(1.5)

Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).

Лема 2.

(1.6)

Рівність

(1.7)

де Звідси випливає, що для будь-якої послідовності натуральних чисел, такї, що

Подібні реферати:

Піфагор. Теорема Піфагора

В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки та мистецтва стала Іонія-група островів Егейського моря, які знаходяться біля берегів Малої Азії. Там у сім’ї золотих справ майстера Мнесарха народився син. За легендою, в Дельтах, куди приїхали Мнесарх з дружиною Парфенісою,- чи по справам, чи у весільну подорож- оракул пророчив їм народження сина, який буде славитися віками своєю мудрістю, справами та красою. Бог Аполлон, вустами оракла, радить їм плити в Сірію. Пророцво збувається - в Сидоні Парфеніса народила хлопчика. ...

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах

План Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин Обчислення площі плоскої фігури Обчислення площі в декартових координатах Площа криволінійного сектора в полярних координатах ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА 1. Площа плоскої фігури 1.1. Обчислення площі в декартових координатах В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється ...

Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно ма­лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи­наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть­ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто . Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера­ми α,β,γ. Наприклад, величина при є нескінченно малою. Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне ...