Порівняння функцій та їх застосування

ЗМІСТ

Вступ 3

1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4

§1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4

§2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9

§3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18

§4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21

ВИСНОВОК 26

Вступ

Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y – залежною змінною, або функцією.

В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі важливі границі; способи порівняння функцій та ін.

Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати розв’язанням вправ

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ

ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ

В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться надалі.

Лема 1.

(1.1)

Доведення. Розглянемо круг радіусом R з центром в точці О. Нехай радіус 0В утворює кут , з радіусом ОА. З’єднаємо точки А і В відрізком і проведемо з точки А перпендикуляр до радіуса ОА до перетину в точці С з продовженням радіуса 0В (мал. 28). Тоді площа трикутника АОВ рівна , площа сектора AОB рівна а площа трикутника АОС рівна Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною трикутника АОС; тому

звідки

отже,

або, замінюючи величини їм оберними

(1.2)

Зауважимо, що через парність функцій і нерівність (1.2) справедлива і при . Оскільки функція неперервна і , то з (1.2) при слідує рівність (1.1).

Наслідок 1.

(1.3)

Дійсно,

Наслідок 2.

(1.4)

Функція строго монотонна і неперервна на відрізку , тому обернена функція також строго монотонна і неперервна на відрізкуе . Оскільки , то записи і еквівалентні. Щоб обчислити границю (1.4), застосуємо правило заміни змінної для границю неперервних функцій. Поклавши , маємо

Наслідок 3.

(1.5)

Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).

Лема 2.

(1.6)

Рівність

(1.7)

де Звідси випливає, що для будь-якої послідовності натуральних чисел, такї, що

Подібні реферати:

Суть аксіоматичного методу

1.1 Що таке математика? Математика - це наука про числа й фігури, скажете Ви. Адже арифметика вивчає дії над числами. Геометрія – властивості геометричних фігур. В алгебраїчних виразах змінні теж позначають числа. Однак є такі галузі математики, де ні числа, ні фігури ніякої особливої ролі не відіграють. Відкриємо підручник із математичної логіки. Формули, що зустрінуться нам тут, нагадують алгебраїчні. Але буквами в них позначають не числа, а фрази, частіше всього математичні твердження. Їх у логіці називають ...

Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння

План Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія) Лінійне однорідне рівняння. Структура загального розв’язку Лінійне неоднорідне рівняння. Структура загального розв’язку Метод варіації довільних сталих 1. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Лінійним диференціальним рівнянням -го порядку називається рівняння вигляду , (12.30) причому - задані неперервні функції. Зауважимо, що невідома функція та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені. Якщо в рівнянні ...

Елементи комбінаторики

§ 1. Поняття множини. Операції над множинами Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення Множину можна уявити собі як су­купність деяких предметів, об'єднаних за довільною характерис­тичною ознакою Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і ...