Порівняння функцій та їх застосування
Реферати » Математика » Порівняння функцій та їх застосування
ЗМІСТ
Вступ 3
1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4
§1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4
§2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9
§3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18
§4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21
ВИСНОВОК 26
Вступ
Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують
. При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y – залежною змінною, або функцією.
В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі важливі границі; способи порівняння функцій та ін.
Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати розв’язанням вправ
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ
ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ
В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться надалі.
Лема 1.
(1.1)
Доведення. Розглянемо круг радіусом R з центром в точці О. Нехай радіус 0В утворює кут , з радіусом ОА. З’єднаємо точки А і В відрізком і проведемо з точки А перпендикуляр до радіуса ОА до перетину в точці С з продовженням радіуса 0В (мал. 28). Тоді площа трикутника АОВ рівна
, площа сектора AОB рівна
а площа трикутника АОС рівна
Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною трикутника АОС; тому
звідки
отже,
або, замінюючи величини їм оберними
(1.2)
Зауважимо, що через парність функцій і
нерівність (1.2) справедлива і при
. Оскільки функція
неперервна і
, то з (1.2) при
слідує рівність (1.1).
Наслідок 1.
(1.3)
Дійсно,
Наслідок 2.
(1.4)
Функція строго монотонна і неперервна на відрізку
, тому обернена функція
також строго монотонна і неперервна на відрізкуе
. Оскільки
, то записи
і
еквівалентні. Щоб обчислити границю (1.4), застосуємо правило заміни змінної для границю неперервних функцій. Поклавши
, маємо
Наслідок 3.
(1.5)
Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).
Лема 2.
(1.6)
Рівність
(1.7)
де Звідси випливає, що для будь-якої послідовності
натуральних чисел, такї, що
Подібні реферати:
Дії з векторами
Означення 5. Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора . Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b). а) b) Мал.6 Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді ...
Нескінченно малі та нескінченно великі величини
Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто . Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами α,β,γ. Наприклад, величина при є нескінченно малою. Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне ...
Інтегрування ірраціональних виразів
План Інтегрування деяких ірраціональних функцій Інтеграли від виразів Підстановки Чебишева 1. Інтегрування деяких ірраціональних функцій У цьому пункті раціональні функції однієї змінної, наприклад , двох змінних, наприклад і , трьох змінних далі позначатимемо так: Істинними є такі твердження: а) Усі функції, що можуть бути зведені до вигляду де ціле число, довільні дійсні числа, інтегруються в замкненому вигляді (тут взято за , а роль відіграє ). Доведення пропонується здійснити самостійно, скориставшись ...