Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.33)

то існує і , причому

(1.34)

Доведення. Умова при означає, що

де , а умова при -що , де . Крім того, оскільки існує границя (1.33), функція визначена в деякому проколеному околі точки і, отже, всюди в цьому околі виконується нерівність . Оскільки і, очевидно, в деякому проколеному околі точки , то і функція володіє тією ж властивістю. Тому функція визначена в деякому проколеному околі точки .

Тепер маємо:

Оскільки обидві частини рівності (1.34) рівноправні, то з доведеної теореми виходить, що границя, що стоїть в лівій частині, існує тоді і тільки тоді, коли існує границя в правій частині, причому у разі їх існування вони співпадають. Це робить дуже зручним застосування теореми 2 на практиці: її можна використовувати для обчислення меж, не знаючи наперед, існує чи ні дана межа.

МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ.

Нехай -функції, визначені в деякій проколеному околі точки . Якщо функція представлена у вигляді

то функція називається головною частиною функції при прамуючому до

Приклади. 1. Головна частина функції , при рівна , бо

2. Якщо то функція є головною частиною многочлена при , бо

Якщо задана функція , то її головна частина не визначається однозначно: будь-яка функція , еквівалентна , є її головною частиною. Наприклад, нехай . Оскільки, з одного боку при , а з другого боку то . В першому випадку головною частиною можна вважати , в другому . Проте, якщо задається певним чином головної частини, то при його вигідному виборі можна добитися того, що головна частина вказаного вигляду буде визначена однозначно.

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Математики України

Математика - галузь невтомного пошуку і важкої до самозабуття праці. Іноді на доведення однієї теореми потрібні роки. Праця вченого-математика подібна до праці поета: як і в поезії, у математиці діють досить складні механізми пошуку і філігранне оформлення знайденого результату. Проте, про математиків чомусь не прийнято говорити піднесено, захоплено, хоча вони також заслуговують високих слів подяки, які ми часто адресуємо людям подвигу і мужності. Праця математиків не виставляється на театральній сцені, про неї не говорять ...

Порівняння функцій та їх застосування

ЗМІСТ Вступ 3 1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4 §1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4 §2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9 §3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18 §4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21 ВИСНОВОК 26 Вступ Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y – залежною змінною, або ...

Формула Ньютона – Лейбніца

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється. Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо ...