Search:

Порівняння функцій та їх застосування

Зокрема, справедлива наступна лема.

Лема 5. Якщо функція володіє при , головною частиною вигляду , де А і k - сталі, то серед всіх головних частин такого вигляду вона визначається єдиним чином.

Дійсно, нехай, при ,

і

Тоді ; тому , тобто

що справедливе лише у випадку і .

Поняття головної частини функції корисно при вивченні нескінченно малих і нескінченно великих і з успіхом використовується при розв’язанні різноманітних задач математичного аналізу. Досить часто вдається нескінченно малу складного аналітичного вигляду замінити, в околі даної точки, з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, більш простою функцією. Наприклад, якщо вдається представити у вигляді , то це означає, що з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, ніж , нескінченно мала поводиться в околі точки , як степенева функція .

Покажемо на прикладах, як метод виділення головної частини нескінченно малих застосовується до обчислення границь функцій. При цьому широко використовуватимемо отримані нами співвідношення еквівалентності (1.26).

Нехай вимагається знайти межу (а значить, і довести, що він існує))

Використовуючи доведену вище (див. (1.26)) еквівалентність ~ при , маємо при , тому (див. теорему 1)) . Проте і , а отже

Далі , унаслідок чого

Очевидно також, що

З асимптотичої рівності , отримаємо

з

а з

Всі ці співвідношення виконуються при . Тепер маємо

тому

Але при , і, значить, по теоремі 2,

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Властивості визначеного інтеграла

1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування. Визначений інтеграл введений для випадку, коли a<b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a=b i a>b. 20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю: 30. Від переставлення меж ...

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах

План Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин Обчислення площі плоскої фігури Обчислення площі в декартових координатах Площа криволінійного сектора в полярних координатах ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА 1. Площа плоскої фігури 1.1. Обчислення площі в декартових координатах В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється ...

Діяльність українських вчених 20-30 рр. М.Кравчука, А.Кримського

“Моя любов — Україна і математика”,— це слова всесвітньо відомого математика Михайла Кравчука. На жаль, на батьківщині мало хто знає, що цей наш співвітчизник першим у світі спроектував комп’ютер (його науковим доробком, щоправда, скористався американець Атанасов), написав перший підручник з математики українською мовою, організував першу в нашій державі шкільну математичну олімпіаду. Завдяки його наставницькій діяльності Сергій Корольов став генеральним конструктором космічних ракетоносіїв, а Архип Люлька — конструктором ...