Search:

Порівняння функцій та їх застосування

Зокрема, справедлива наступна лема.

Лема 5. Якщо функція володіє при , головною частиною вигляду , де А і k - сталі, то серед всіх головних частин такого вигляду вона визначається єдиним чином.

Дійсно, нехай, при ,

і

Тоді ; тому , тобто

що справедливе лише у випадку і .

Поняття головної частини функції корисно при вивченні нескінченно малих і нескінченно великих і з успіхом використовується при розв’язанні різноманітних задач математичного аналізу. Досить часто вдається нескінченно малу складного аналітичного вигляду замінити, в околі даної точки, з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, більш простою функцією. Наприклад, якщо вдається представити у вигляді , то це означає, що з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, ніж , нескінченно мала поводиться в околі точки , як степенева функція .

Покажемо на прикладах, як метод виділення головної частини нескінченно малих застосовується до обчислення границь функцій. При цьому широко використовуватимемо отримані нами співвідношення еквівалентності (1.26).

Нехай вимагається знайти межу (а значить, і довести, що він існує))

Використовуючи доведену вище (див. (1.26)) еквівалентність ~ при , маємо при , тому (див. теорему 1)) . Проте і , а отже

Далі , унаслідок чого

Очевидно також, що

З асимптотичої рівності , отримаємо

з

а з

Всі ці співвідношення виконуються при . Тепер маємо

тому

Але при , і, значить, по теоремі 2,

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Індекси у статистиці

План лекції Суть індексів і їх роль у статистичному аналізі. Методологічні принципи побудови індексів. Агрегатні індекси. Обчислення основних економічних індексів. Середньозважені індекси. 1. Індексом у статистиці називається відносний показник, який характеризує зміну явища у часі, просторі або порівняно з планом. Його отримують порівнянням числових значень однойменних показників, що мають однаковий економічний зміст. Слово “індекс” у статистиці означає узагальнюючий показник, який характеризує рівень досліджуваного явища ...

Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння (1) де - сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі (2) Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі (3) Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним. Нагадаємо, що оператор зсуву S (4) Далі, ...

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду

План Розвинення функції у степеневий ряд. Контрольні запитання Яке розвинення в степеневий ряд функції ex. Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x. Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x. Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x Література Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с. Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має ...