Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.8)

маємо

(1.9)

Дійсно, нехай задано ; з (1.7) випливає, що знайдеться таке що при

(1.10)

а з умови (1.8) випливає, що існує таке що при тому в силу (1.10)

при що і означає виконання рівності (1.9).

Нехай тепер послідовність така, що

тобто

(1.11)

Покажемо, що При цьому без обмеження спільності можна вважати, що Для довільного знайдеться таке натуральне що і, отже, причому в силу Тому маємо:

(1.12)

Наголошуючи, що в силу (1,9)

і

і переходячи до границю в нерівності (1.12) при , отримаємо

Оскільки —первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим доведено, що

(1.13)

Нехай тепер послідовність така, що.

тобто,

(1.14)

Покладемо , тоді і при чому без обмеження спільності можна вважати, що Тоді

,

де

і

і через вже доведену рівність (1.13)

Але була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому

(1.15)

Таким чином, функція має в точці О границі з ліва і права, рівні одному і тому ж числу е. Тому існує і її двостороння границя при , яка також рівна е.

Наслідок 1.

(1.16)

і, зокрема, при

Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції, неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:

Наслідок 2.

(1.17)

Зокрема, якщо то

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Частинні коефіцієнти кореляції і коефіцієнти регресії

Частинні коефіцієнти кореляції так само, як і парні, характеризують тісну зв’язку між двома змінними. Але на відміну від парних частинні коефіцієнти характеризують тісноту зв’язку за умови, що інші незалежні змінні сталі. Можна дістати спрощений вираз для розрахунку коефіцієнта частинної кореляції, обравши інший спосіб інтерпретації цього коефіцієнта. Для випадку простої регресії двох змінних маємо де характеризує коефіцієнт при х у рівнянні у = f(x), а - коефіцієнт при у в рівняння х = f (у). Отже, квадрат коефіцієнта ...

Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб­личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком. Приклад 3. Знайти інтеграли Розв’язування. У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументу степеневої функції u8 = (х + 3)8 на постійний доданок 3; У цьому випадку аргумент ...

Метод виокреслення лінійно незалежних векторів

1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V. Візьмемо систему векторів а1, а2..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів. а=Х1а1+Х2а2+...Хnan,Xs є R(1) утворює лінійний підпростір V у Rm. Справді, якщо а= в=, Хs, Ys є R а, в є V, то виконується рівність La+Bb =, тобто La+Bb є V. Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1, а2,...,аn, або підпростором, ...