Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.8)

маємо

(1.9)

Дійсно, нехай задано ; з (1.7) випливає, що знайдеться таке що при

(1.10)

а з умови (1.8) випливає, що існує таке що при тому в силу (1.10)

при що і означає виконання рівності (1.9).

Нехай тепер послідовність така, що

тобто

(1.11)

Покажемо, що При цьому без обмеження спільності можна вважати, що Для довільного знайдеться таке натуральне що і, отже, причому в силу Тому маємо:

(1.12)

Наголошуючи, що в силу (1,9)

і

і переходячи до границю в нерівності (1.12) при , отримаємо

Оскільки —первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим доведено, що

(1.13)

Нехай тепер послідовність така, що.

тобто,

(1.14)

Покладемо , тоді і при чому без обмеження спільності можна вважати, що Тоді

,

де

і

і через вже доведену рівність (1.13)

Але була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому

(1.15)

Таким чином, функція має в точці О границі з ліва і права, рівні одному і тому ж числу е. Тому існує і її двостороння границя при , яка також рівна е.

Наслідок 1.

(1.16)

і, зокрема, при

Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції, неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:

Наслідок 2.

(1.17)

Зокрема, якщо то

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Задачі нелінійного програмування

У задачах лінійного програмування, які розглядалися раніше, всі невідомі входили як до системи обмежень, так і до цільової функції, у першому степені. Тому ці задачі були досить простими у постановці і за методами розв'язування. Зрозуміло, що ряд економічних задач допускають такі ма­тематичні моделі, до яких невідомі або деяка їх частина вхо­дять нелінійно. Наприклад, нехай критерієм оптимальності є собівартість одиниці виробленої продукції. Очевидно, що вона залежить від розміру підприємства. Так, із збільшен­ням ...

Диференціальні рівняння І порядку

ПЛАН Основи означення. Диференціальні рівняння І порядку. Задача Коші. Теорема існування та єдності розв'язку. Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння. І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у(N). Символічно диференціальне рівняння записується так: (1) Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0; Sin у'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння. Означення. Порядком диференціального рівняння ...

Критерій інтегрованості функцій

Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати. . Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння , яке є першим інтегралом системи. Геометрично перший інтеграл являє собою -вимірну поверхню в -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих Якщо знайдено -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо перших інтегралів І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б ...