Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.8)

маємо

(1.9)

Дійсно, нехай задано ; з (1.7) випливає, що знайдеться таке що при

(1.10)

а з умови (1.8) випливає, що існує таке що при тому в силу (1.10)

при що і означає виконання рівності (1.9).

Нехай тепер послідовність така, що

тобто

(1.11)

Покажемо, що При цьому без обмеження спільності можна вважати, що Для довільного знайдеться таке натуральне що і, отже, причому в силу Тому маємо:

(1.12)

Наголошуючи, що в силу (1,9)

і

і переходячи до границю в нерівності (1.12) при , отримаємо

Оскільки —первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим доведено, що

(1.13)

Нехай тепер послідовність така, що.

тобто,

(1.14)

Покладемо , тоді і при чому без обмеження спільності можна вважати, що Тоді

,

де

і

і через вже доведену рівність (1.13)

Але була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому

(1.15)

Таким чином, функція має в точці О границі з ліва і права, рівні одному і тому ж числу е. Тому існує і її двостороння границя при , яка також рівна е.

Наслідок 1.

(1.16)

і, зокрема, при

Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції, неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:

Наслідок 2.

(1.17)

Зокрема, якщо то

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Порівняння функцій та їх застосування

ЗМІСТ Вступ 3 1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4 §1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4 §2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9 §3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18 §4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21 ВИСНОВОК 26 Вступ Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y – залежною змінною, або ...

Розклад вектора на складові на площині і в просторі. Декартові система координат

Мета. Ознайомитись з поняттям про базис на площині і в просторі; та координати вектора. Розклад вектора з двома не колінеарними векторами на площині. Система координат на площині. Розклад вектора за трьома не колінеарними векторами в просторі. Система координат в просторі. Теорема. Будь – який на площині можна подати, про чому єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації двох не колінеарних векторів. , де - не колінеарні вектори - числа. Доведемо це. Нехай маємо на площині три вектори , причому не колінеарні. Покажемо, що ...

Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами

План Інтегрування частинами Інтегрування часток Заміна змінної 1. Інтегрування частинами Нехай і – диференційовані функції на Тоді або Звідси (8.16) Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій : де –поліном , – раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за, а що – ...