Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.І8)

Функція строго монотонна і неперервна на всій числовій осі, тому зворотна функція також строго монотонна і неперервна при . Оскільки при маємо також і , то позначення і еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни змінної.

Поклавши , отримаємо

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ

Всі, що розглядаються в цьому пункті, функції визначені в деякому фіксованому проколотому околі точки розширеної числової прямої: при чому цей окіл може бути і одностороній. Тому кожного разу не буде сказано, що .

Як ми вже знаємо, сума, різниця і добуток нескінченно малих функцій є також нескінченно малими функціями; цього не можна, взагалі кажучи, сказати про їх подільність: ділення однієї нескінченно малої на іншу може призвести до різноманітних випадків, як це показують нижче проведені приклади нескінченно малих при функцій і .

Нехай, наприклад і тоді

Якщо ж то а якщо , то границя не існує.

Означення 1. Якщо для двох функцій f і g існують такі проколені околи і сталі , що для всіх виконується нерівність то функція f називається обмеженою порівнянно з функцією g на і позначається:

(читається: є велике від при , прямучому до ).

Наголосимо, що запис має тут інше, ніж звичайно, значення: він тільки вказує на те, що дана властивість має місце лише в деякому околі точки ні про яку межу тут мови немає.

Лема 3. Якщо і існує скінчена границя то

Доведення. З існування скінченої границі

,

слідує існування такого проколотого околу точки що функція на ній обмежена, тобто є така стала , що для всіх виконується нерівність а отже, і нерівність Це і означає, що , .

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

План Ознаки порівняння рядів з додатними членами Ознака Даламбера Радикальна ознака Коші Інтегральна ознака Коші 13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми. Нехай задані два ряди з додатними членами (13.4) (13.5) Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто , то із збіжності ряду ...

Диференціал

План Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних. Достатні умови диференційованості функції. Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі. Інваріантність форми диференціала. Диференціювання функцій, заданих параметрично. Неявні функції, їх диференціювання. 1. Диференціал функції 1.1 Означення диференційованої функції Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці ...

Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності

План Числові ряди. Збіжність і розбіжність Сума ряду Дії над збіжними рядами Необхідна ознака збіжності Гармонічний ряд ЧИСЛОВІ РЯДИ 1 Ряд. Сума ряду Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел Вираз (13.1) називається числовим рядом. При цьому числа називаються членами ряду. Означення 2. Сума скінченого числа перших членів ряду називається ою частинною сумою ряду: . (13.2) Означення 3. Якщо існує скінчена границя (13.3) то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається. Якщо не ...