Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.І8)

Функція строго монотонна і неперервна на всій числовій осі, тому зворотна функція також строго монотонна і неперервна при . Оскільки при маємо також і , то позначення і еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни змінної.

Поклавши , отримаємо

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ

Всі, що розглядаються в цьому пункті, функції визначені в деякому фіксованому проколотому околі точки розширеної числової прямої: при чому цей окіл може бути і одностороній. Тому кожного разу не буде сказано, що .

Як ми вже знаємо, сума, різниця і добуток нескінченно малих функцій є також нескінченно малими функціями; цього не можна, взагалі кажучи, сказати про їх подільність: ділення однієї нескінченно малої на іншу може призвести до різноманітних випадків, як це показують нижче проведені приклади нескінченно малих при функцій і .

Нехай, наприклад і тоді

Якщо ж то а якщо , то границя не існує.

Означення 1. Якщо для двох функцій f і g існують такі проколені околи і сталі , що для всіх виконується нерівність то функція f називається обмеженою порівнянно з функцією g на і позначається:

(читається: є велике від при , прямучому до ).

Наголосимо, що запис має тут інше, ніж звичайно, значення: він тільки вказує на те, що дана властивість має місце лише в деякому околі точки ні про яку межу тут мови немає.

Лема 3. Якщо і існує скінчена границя то

Доведення. З існування скінченої границі

,

слідує існування такого проколотого околу точки що функція на ній обмежена, тобто є така стала , що для всіх виконується нерівність а отже, і нерівність Це і означає, що , .

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Остроградський Михайло Васильйович

Остроградський Михайло Васильович (1801-1862) математик Народився в селi Пашенна на Полтавщині. У 1816—1821 рр. навчався в Харківському університеті. В 1822—1827 рр. вдосконалював математичну освіту у Франції: слухав математичні курси на Паризькому факультеті наук і в Коллеж де Франс, що дозволило йому називати своїми вчителями таких великих французьких учених, як О.Л.Коші, Л.Пуансо, Ж.Ф.М.Біне, Ж.Ш.Ф.Штурма, Г.Ламе. З 1828 р. М.В.Остроградський працював у Петербурзі: у Морському кадетському корпусі, з 1830 р. — в ...

Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля

План Функціональний ряд. Область збіжності Рівномірна збіжність Степеневі ряди Теорема Абеля Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду Ряди за степенями 1. Функціональні ряди 1.1. Функціональні ряди. Область збіжності Ряд (13.22) називається функціональним, якщо його члени є функціями від Надаючи певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші – розбіжними. Означення. Сукупність тих значень при яких ряд (13.22) збігається, називається областю збіжності ...

Диференціальні рівняння І порядку

ПЛАН Основи означення. Диференціальні рівняння І порядку. Задача Коші. Теорема існування та єдності розв'язку. Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння. І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у(N). Символічно диференціальне рівняння записується так: (1) Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0; Sin у'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння. Означення. Порядком диференціального рівняння ...