Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.20)

і

(1.21)

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:

(1.22)

З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при

Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:

*і

2. ~ при . Дійсно, якщо , то

і

Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню

а, отже, й умові

Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

f~g і g~f при (1.23)

то

f~h при (1.24)

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки

де і, отже

,

де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:

З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.

Лема 4. Якщо функція така, що

(1.25)

то при ,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Функції та способи їх задання

План 1. Деякі властивості функції. 2. Області визначення та значення функції заданої аналітично. 3. Основні елементарні функції. 4. Складні та елементарні функції. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ФУНКЦІЯ Поняття функціональної залежності Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень. Розглянемо дві змінні величини . Означення: Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення ...

Економічний зміст похідної. Використання поняття похідної в економіці

Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти продуктивність праці в момент t0. За період часу від t0 до t0 + t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(t0) до значення u0 + u = u(t0 +t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу zсер=. Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої проду­ктивності за період часу від t0 до t0 + t при t à 0 , тобто ...

Поняття про ряд Тейлора

Степеневий ряд називається рядом Тейлора. Для розкладу в ряд Тейлора діалоговому режимі діємо за схемою: Series → x=1 → Power Series Power Series Порівняння графіків функції y=lnx і многочлена plot 2D + Rectangular 1 0 1 1,5 2 -2 -4 -5 Ряд Тейлора Досі ми вивчали властивості суми заданого степеневого ряду. Вважатимемо тепер, що функція задана, і з’ясуємо, за яких умов цю функцію можна подати у вигляді степеневого ряду і як знайти цей ряд. Нехай функція f(x) є сумою степеневого ряду (1) в інтервалі ...