Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.20)

і

(1.21)

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:

(1.22)

З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при

Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:

*і

2. ~ при . Дійсно, якщо , то

і

Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню

а, отже, й умові

Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

f~g і g~f при (1.23)

то

f~h при (1.24)

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки

де і, отже

,

де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:

З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.

Лема 4. Якщо функція така, що

(1.25)

то при ,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку. Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд (5.1) Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ої степені. Означення 5.1. Функція , визначена і (5.2) неперервнодиференційовна на називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в тотожність Означення 5.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, ...

Архімед

Архімед народився у 287 році до нашої ери у грецькому місті Сіракузи, де і прожив майже усе своє життя. Його батьком був Фідій, астроном при дворі правителя міста Гієрона. Учився Архімед в Олександрії, де правителі Єгипту Птолемеї зібрали найкращих грецьких вчених і мислителів, а також заснували найбільшу у світі бібліотеку. Після навчання в Олександрії Архімед знову повернувся в Сіракузи й успадкував посаду свого батька. Основні роботи Архімеда стосувалися різних практичних додатків математики (геометрії), фізики, ...

Вектори на площині і в просторі. Дії з векторами

Мета. Узагальнення знань студентів про вектори на площині; формування поняття вектора в просторі. 1. Вектори. Основні поняття і означення. 2. Дії над векторами. 1. Вектор - це напрямлений відрізок або вектор - це паралельний перенос. Вектори позначають: Або за початком і кінцем Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або О Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають Вектори, які лежать на паралельних прямих, називають колінеарними. (а ...