Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.20)

і

(1.21)

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:

(1.22)

З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при

Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:

*і

2. ~ при . Дійсно, якщо , то

і

Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню

а, отже, й умові

Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

f~g і g~f при (1.23)

то

f~h при (1.24)

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки

де і, отже

,

де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:

З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.

Лема 4. Якщо функція така, що

(1.25)

то при ,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Діяльність українських вчених 20-30 рр. М.Кравчука, А.Кримського

“Моя любов — Україна і математика”,— це слова всесвітньо відомого математика Михайла Кравчука. На жаль, на батьківщині мало хто знає, що цей наш співвітчизник першим у світі спроектував комп’ютер (його науковим доробком, щоправда, скористався американець Атанасов), написав перший підручник з математики українською мовою, організував першу в нашій державі шкільну математичну олімпіаду. Завдяки його наставницькій діяльності Сергій Корольов став генеральним конструктором космічних ракетоносіїв, а Архип Люлька — конструктором ...

Оцінювання парамерів моделі метoдом найменших квадратів

Звернемося до прикладу простої економічної моделі, де потрібно кількісно оцінити зв’язок між витратами на споживання та доходами сім’ї. Щоб оцінити параметри моделі необхідно сформувати сукупність спостережень, кожна одиниця якої характеризується витратами на споживання і доходами сімей. Припустимо, що економетрична модель споживання будується для тієї групи людей, в якій зі збільшенням доходів зростають витрати на споживання. Зобразимо кожну пару спостережень у системі координат, де величина витрат на споживання ...

Зв’язок між розв’язками прямої і двоїстої задач. Геометрична інтерпретація двоїстих задач

Розглянемо кілька двоїстих задач, утворену основною задачею лінійного програмування і двоїстої до неї. Вихідною задачею є: найти максимум функції (1) при умовах (2) (3) Двоїста задача: знайти мінімум функції (4) при умовах (5) Кожна з задач двоїстої пари (1) — (3) і (4), (5) фактично є самостійною задачею лінійного програмування і може бути вирішена незалежно одна від іншої. Однак при визначенні симплексним методом оптимального плану однієї з задач тим самим знаходиться рішення й інша задача. Існуючі залежності між ...