Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.20)

і

(1.21)

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:

(1.22)

З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при

Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:

*і

2. ~ при . Дійсно, якщо , то

і

Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню

а, отже, й умові

Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

f~g і g~f при (1.23)

то

f~h при (1.24)

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки

де і, отже

,

де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:

З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.

Лема 4. Якщо функція така, що

(1.25)

то при ,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Диференціальні рівняння вищих порядків

План Диференціальні рівняння вищих порядків Рівняння виду Рівняння виду Рівняння виду Задача про другу космічну швидкість 12.7. Диференціальні рівняння вищих порядків Нехай задано диференціальне рівняння го порядку, розв’язане відносно старшої похідної: . (12.25) Загальний розв’язок рівняння го порядку має вигляд де - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі його називають загальним інтегралом. Задамо початкові умови для рівняння (12.25): нехай при . (12.26) Для задачі (12.25)-(12.26) ...

Інтегральне числення. Невизначений інтеграл

Означення: Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx . Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжка, на якому вона розглядається. Приклад: Первісні для функції мають вигляд: причому, F1(x), F2(x) — неперервні R, a F3(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі первісні Fi(x) і = 1,2,3, знайдені методом добору із на­ступною ...

Функція Гріна

Нехай в банаховому просторі Z визначена крайова задача (1) де для довільного і являються лінійними обмеженими операторами, які діють в Z, ряди в правих частинах (1) збігаються у рівномірної операторної топології при , , , , , , сильно неперервні при , , оператор , де - оператор Коші однорідного рівняння , (2) є - оператор [1] з Лема. Якщо власна функція крайової задачі , , (3) відносно операторів і , утворює узагальнений Жорданов ланцюг приєднаних функцій , скінченої довжини , то для достатньо малих крайова задача (1) має ...