Search:

Порівняння функцій та їх застосування

(1.20)

і

(1.21)

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:

(1.22)

З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при

Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:

*і

2. ~ при . Дійсно, якщо , то

і

Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню

а, отже, й умові

Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

f~g і g~f при (1.23)

то

f~h при (1.24)

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки

де і, отже

,

де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:

З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.

Лема 4. Якщо функція така, що

(1.25)

то при ,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння

План Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія) Лінійне однорідне рівняння. Структура загального розв’язку Лінійне неоднорідне рівняння. Структура загального розв’язку Метод варіації довільних сталих 1. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Лінійним диференціальним рівнянням -го порядку називається рівняння вигляду , (12.30) причому - задані неперервні функції. Зауважимо, що невідома функція та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені. Якщо в рівнянні ...

Діяльність українських вчених 20-30 рр. М.Кравчука, А.Кримського

“Моя любов — Україна і математика”,— це слова всесвітньо відомого математика Михайла Кравчука. На жаль, на батьківщині мало хто знає, що цей наш співвітчизник першим у світі спроектував комп’ютер (його науковим доробком, щоправда, скористався американець Атанасов), написав перший підручник з математики українською мовою, організував першу в нашій державі шкільну математичну олімпіаду. Завдяки його наставницькій діяльності Сергій Корольов став генеральним конструктором космічних ракетоносіїв, а Архип Люлька — конструктором ...

Інтегрування раціональних функцій

План Інтегрування раціональних функцій Прості раціональні дроби Неправильні раціональні дроби Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського 1. Інтегрування раціональних дробів Прості раціональні дроби Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів : , де –дійсні числа ; – ціле число , тобто не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел . Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів : в) ; г) Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у ...