Search:

Порівняння функцій та їх застосування

Наприклад, при , або

Так само і при

Відзначимо, що якщо то і при Дійсно, нехай , де . Тоді функція обмежена в деякому проколеному околі точки точки і, значить, в вказаному проколеному околі, а це означає, що , .

Збираючи разом введені в цьому пункті основні поняття, отримаємо: нехай в деякому проколеному околі Ů=Ů(x) точки

тоді

якщо функція обмежена на , то

якщо '

якщо

При використовуванні рівності з символами О і о слідує мати на увазі, що вони не є рівністю в звичайному значенні цього слова. Так, якщо

то було б помилкою зробити звідси висновок, що як це було б у разі звичайної рівності. Наприклад, і при , але . Аналогічно, якщо

при

то було б помилкою зробити висновок, що

Річ у тому, що один і той же символ або може позначати різні конкретні функції. Ця обставина зв'язана з тим, що при визначенні символів і ми по суті ввели цілі класи функцій, що володіють певними властивостями (клас функцій, обмежених в деякому околі точки в порівнянні з функцією і клас функцій, нескінченно малих в порівнянні з f(x) при ) і було б правильнішим писати не і , а відповідно і о . Проте це призвело б до істотного ускладнення обчислень з формулами, в яких зустрічаються символи О і о. Тому ми збережемо колишній запис і , але завжди читатимемо цю рівність, відповідно до приведених вище визначень, тільки в одну сторону: зліва направо (якщо, звичайно, не обумовлено що-небудь інше). Наприклад, запис означає, що функція є нескінченно малою в порівнянні з функцією f при але зовсім не те, що всяка нескінченно мала по порівнянню з f функція рівна .

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Дії з векторами

Означення 5. Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора . Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b). а) b) Мал.6 Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді ...

Інтегральне числення. Невизначений інтеграл

Означення: Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx . Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжка, на якому вона розглядається. Приклад: Первісні для функції мають вигляд: причому, F1(x), F2(x) — неперервні R, a F3(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі первісні Fi(x) і = 1,2,3, знайдені методом добору із на­ступною ...

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів

План Умовний екстремум Необхідні умови Метод множників Лагранжа Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів 1. Умовний екстремум У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках аргументи ...