Порівняння функцій та їх застосування

Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність

(1.31)

де с - стала.

Згідно сказаному, треба показати, що якщо , то . Дійсно, якщо , то , де0. Покладемо тоді де, очевидно і, значить, .

На закінчення відзначимо, що сказане про використовування символів О і о не виключає, звичайно, того, що окремі формули з цими символами можуть виявитися справедливими не тільки при читанні зліва направо, але і справа наліво; так, формула (1.31) при вірна і при читанні справа наліво.

Приклади.

1.;

тому

2.

3., бо

4.Так як |1/x2| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ® ¥;

5.1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x2 при |x|£ 1.

6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ® 0 являються нескінчено малими одного порядку при x® a , так як

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| £ 3 Þ f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| £ 1 Þ g=O(f).

7. x2 = o(x) при x ® 0, так як limx ® 0x2/x = limx ® 0x = 0;

8.1/x2 = o(1/x) при x ® + ¥ так як limx ® ¥x/x2 = limx ® ¥1/x = 0

9.Знайти границю

Розв’язування. Використовуючи асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) при x® 0, найдем

ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ

Якщо функція замінюється на де якому кроці через , то різницяь називається абсолютною похибкою, а відношення — відносною похибкою зробленої заміни. Якщо вивчається поведінка функції при то часто доцільно замінити її функцією такої, що 1) функція в певному значенні більш проста, ніж функція ; 2) абсолютна похибка прямує до нуля при

В цьому випадку говорять, що наближає функцію поблизу точки . Такою властивістю володіють наприклад, всі нескінченно малі при функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні між собою:

володіють тією властивістю, що не тільки абсолютна похибка , але і відносна прямує до нуля при

Подібні реферати:

Математики України

Математика - галузь невтомного пошуку і важкої до самозабуття праці. Іноді на доведення однієї теореми потрібні роки. Праця вченого-математика подібна до праці поета: як і в поезії, у математиці діють досить складні механізми пошуку і філігранне оформлення знайденого результату. Проте, про математиків чомусь не прийнято говорити піднесено, захоплено, хоча вони також заслуговують високих слів подяки, які ми часто адресуємо людям подвигу і мужності. Праця математиків не виставляється на театральній сцені, про неї не говорять ...

Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів при вивченні математики

План. І.Вступ. ІІ. Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів на уроці. Розвиток пізнавального інтересу учнів. Прийоми активізації уваги учнів. Використання аналітико-синтетичного методу. Роль проведення короткочасних повідомлень, підготовлених учнями. Творчі завдання - засіб активізації пізнавальної актиності учнів. Шляхи розвитку інтуїції школярів. Дослідницький метод. Проблемний метод. Шляхи формування творчої самостійності учнів. Шляхи вирівнювання знань і вмінь учнів із слабкою підготовкою. ІІІ. ...

Комплексні числа

При вивчення математики ми багато раз зустрічаємося з ідеэю розширення множини дійсних чисел .Наше представлення про число змінюється по мірі розширення кругу задач, які необхідно розв’язувати .Якщо для рахунку окремих предметів нам досить натуральних чисел, то, наприклад, для розв’язування рівнянь px+q=0, де p є N і q є N, натуральних чисел мало потрібні раціональні числа. В свою чергу раціональні чисел виявляється не досить для вимірювання довжини відрізків. Щоб довільному відрізку можна було надати довжини, необхідно ...