Search:

Порівняння функцій та їх застосування

Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність

(1.31)

де с - стала.

Згідно сказаному, треба показати, що якщо , то . Дійсно, якщо , то , де0. Покладемо тоді де, очевидно і, значить, .

На закінчення відзначимо, що сказане про використовування символів О і о не виключає, звичайно, того, що окремі формули з цими символами можуть виявитися справедливими не тільки при читанні зліва направо, але і справа наліво; так, формула (1.31) при вірна і при читанні справа наліво.

Приклади.

1.;

тому

2.

3., бо

4.Так як |1/x2| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ® ¥;

5.1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x2 при |x|£ 1.

6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ® 0 являються нескінчено малими одного порядку при x® a , так як

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| £ 3 Þ f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| £ 1 Þ g=O(f).

7. x2 = o(x) при x ® 0, так як limx ® 0x2/x = limx ® 0x = 0;

8.1/x2 = o(1/x) при x ® + ¥ так як limx ® ¥x/x2 = limx ® ¥1/x = 0

9.Знайти границю

Розв’язування. Використовуючи асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) при x® 0, найдем

ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ

Якщо функція замінюється на де якому кроці через , то різницяь називається абсолютною похибкою, а відношення — відносною похибкою зробленої заміни. Якщо вивчається поведінка функції при то часто доцільно замінити її функцією такої, що 1) функція в певному значенні більш проста, ніж функція ; 2) абсолютна похибка прямує до нуля при

В цьому випадку говорять, що наближає функцію поблизу точки . Такою властивістю володіють наприклад, всі нескінченно малі при функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні між собою:

володіють тією властивістю, що не тільки абсолютна похибка , але і відносна прямує до нуля при

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Диференціальні рівняння вищих порядків

План Диференціальні рівняння вищих порядків Рівняння виду Рівняння виду Рівняння виду Задача про другу космічну швидкість 12.7. Диференціальні рівняння вищих порядків Нехай задано диференціальне рівняння го порядку, розв’язане відносно старшої похідної: . (12.25) Загальний розв’язок рівняння го порядку має вигляд де - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі його називають загальним інтегралом. Задамо початкові умови для рівняння (12.25): нехай при . (12.26) Для задачі (12.25)-(12.26) ...

Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір

План Базис. Лінійна залежність і незалежність векторів. Декартова система координат. Довжина і координати вектора. Поділ відрізка в заданому відношенні. Полярна система координат. Циліндрична система координат. Сферична система координат. Заміна системи координат. 1. Базис Довільна впорядкована (взята в певному порядку) трійка некомпланарних векторів називається базисом простору. Базисом на площині називаються два неколінеарних вектори, взяті в певному порядку. Базисом на прямій називається довільний ненульовий ...

Математика - відкриття впродовж століть

Математика - сукупна назва багатьох математичних наук. Основними з них є: арифметика, алгебра, геометрія і математичний аналіз. Слово "математика" використовували у Стародавній Греції приблизно в V ст. нашої ери послідовники легендарного Піфагора - так звані "піфагорійці". Походить воно від слова "матема", що означає "вчення" або "знання". Давні греки визнавали тільки 4 матема: вчення про числа (арифметику), вчення про фігури (геометрію), вчення про пропорції в природі та ...