Search:

Порівняння функцій та їх застосування

В цьому значенні функції, еквівалентні заданій, наближають її краще, ніж інші функції навіть того ж порядку, що і дана при

Наприклад, функції є нескінченно малими при так само як і а тому абсолютні похибки при заміні sin кожна з них прямує до нуля при

Але лише одна зі всіх перерахованих функцій, а саме: має ту властивість, що відносна похибка при заміні цією функцією прямуватиме до нуля при

Прямування відносної похибки до нуля при можна записати, використовуючи символ “o мале»:

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у вигляді теореми.

Теорема 1. Для того, щоб функції і були еквівалентними при необхідно і достатньо, щоб при виконувалася умова

(1.32)

Доведення необхідності. Нехай при тобто

де . Тоді

де при , тобто маємо (1.32).

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто

де . Тоді

де при тобто при

Отже, ми показали, що функції і еквівалентні при тоді і тільки тоді, коли відносна похідна (або прямує до нуля при )

Наслідок. Нехай де с - стала. Тоді f~cg і g=cf+o(f) при

Доведення. Якщо , то , і значить при . Звідси, з теореми 1 маємо а значить (див. кінець п. 1.2) .

Теорема 2. Нехай ~ і ~ при Тоді якщо існує

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Первісна функція і неозначений інтеграл. Основні властивості неозначеного інтеграла.Таблиця основних інтегралів

План Первісна функція Неозначений інтеграл Основні властивості неозначеного інтеграла Таблиця основних інтегралів Тільки допустивши нескінченно малу (величину) для спостереження – диференціал історії, тобто однорідні захоплення людей, і досягнувши мистецтва інтегрування (брати суми цих нескінченно малих ), ми зможемо надіятись на пізнання законів історії . О. М. Толстой 1. Неозначений інтеграл За допомогою диференціального числення вивчають локальні властивості функції однієї або кількох змінних тобто властивості ...

Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

План Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Рівняння Бернуллі 12.2. Рівняння з відокремленими й відокремлюваними змінними Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку (12.1) праву частину можна подати у вигляді то (за умови, що ) це рівняння можна записати так: (12.2) Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за , а справа за , ...

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

План Визначення та обчислення об’єму тіла Обчислення об’єму тіла за площами його поперечних перерізів Обчилення об’єму тіла обертання Обчислення об’ємів 1.Обчислення об’єму тіла за його за площами поперечних перерізів На рис. 10.5 задано тіло, що обмежене зверху поверхнею , а також площинами , , , . Нехай треба визначити будь-яку площу перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі . Виділимо в тілі частинку, одержану двома паралельними перерізами, віддаленими один від одного на величину .Тоді об’єм виділеної частини ...