Search:

Порівняння функцій та їх застосування

В цьому значенні функції, еквівалентні заданій, наближають її краще, ніж інші функції навіть того ж порядку, що і дана при

Наприклад, функції є нескінченно малими при так само як і а тому абсолютні похибки при заміні sin кожна з них прямує до нуля при

Але лише одна зі всіх перерахованих функцій, а саме: має ту властивість, що відносна похибка при заміні цією функцією прямуватиме до нуля при

Прямування відносної похибки до нуля при можна записати, використовуючи символ “o мале»:

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у вигляді теореми.

Теорема 1. Для того, щоб функції і були еквівалентними при необхідно і достатньо, щоб при виконувалася умова

(1.32)

Доведення необхідності. Нехай при тобто

де . Тоді

де при , тобто маємо (1.32).

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто

де . Тоді

де при тобто при

Отже, ми показали, що функції і еквівалентні при тоді і тільки тоді, коли відносна похідна (або прямує до нуля при )

Наслідок. Нехай де с - стала. Тоді f~cg і g=cf+o(f) при

Доведення. Якщо , то , і значить при . Звідси, з теореми 1 маємо а значить (див. кінець п. 1.2) .

Теорема 2. Нехай ~ і ~ при Тоді якщо існує

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 


Подібні реферати:

Матриці. Загальна інформація

Основні означення Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, скла­дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді або називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так: або де aij — елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає но­мер рядка, aj— номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент. Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати ...

Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними

ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну. а) Розглянемо ДР (4.38) Так як , то Аналогічно , ….., (4.39) Остання формула дає розвязок загальний в області Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами (4.40) Цей розвязок представляється в вігляді (4.41) Ф-я являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами яким відповідають константи Для обчислення використовують ф-лу Коші (4.42) Дійсно інтеграл можна розглядати як повторний інтеграл в ...

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

План Визначення та обчислення об’єму тіла Обчислення об’єму тіла за площами його поперечних перерізів Обчилення об’єму тіла обертання Обчислення об’ємів 1.Обчислення об’єму тіла за його за площами поперечних перерізів На рис. 10.5 задано тіло, що обмежене зверху поверхнею , а також площинами , , , . Нехай треба визначити будь-яку площу перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі . Виділимо в тілі частинку, одержану двома паралельними перерізами, віддаленими один від одного на величину .Тоді об’єм виділеної частини ...