Search:

Доведення теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку

Реферати » Математика » Доведення теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку

Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:

Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

Множити на число

Приклад:

Додавати матриці однакових розмірів:

Приклад:

Множити матриці:

Приклад:

Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме:

Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.

Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо

Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли .

Беспосередньо можна первірити, що для

Визначення: Число l називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик такий, що АХ=lХ. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню l.

Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає l. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:

1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Нехай .

Тоді .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4 


Подібні реферати:

Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв’язків

План Поняття про стійкість розв’язків. Контрольні запитання: Які функції описують незбурений розв’язок? Який розв’язок системи називається стійким за Ляпуновим ? При яких умовах розв’зок називають нестійким ? Який розв’язок називають асимптотично стійким ? Дано рівняння y + y = t з початковою умовою y(0) = 1. Дослідити розв’язок, що задовольняє цю умову, на стійкість. При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають певним умовам, треба знати, як поводитиметься об’єкт при невеликих перерозподілах сил зміні ...

Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно ма­лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи­наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть­ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто . Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера­ми α,β,γ. Наприклад, величина при є нескінченно малою. Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне ...

Частинні коефіцієнти кореляції і коефіцієнти регресії

Частинні коефіцієнти кореляції так само, як і парні, характеризують тісну зв’язку між двома змінними. Але на відміну від парних частинні коефіцієнти характеризують тісноту зв’язку за умови, що інші незалежні змінні сталі. Можна дістати спрощений вираз для розрахунку коефіцієнта частинної кореляції, обравши інший спосіб інтерпретації цього коефіцієнта. Для випадку простої регресії двох змінних маємо де характеризує коефіцієнт при х у рівнянні у = f(x), а - коефіцієнт при у в рівняння х = f (у). Отже, квадрат коефіцієнта ...