Search:

Гіпербола

Реферати » Математика » Гіпербола

Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною величиною, називається гіперболою.

- канонічне рівняння гіперболи.

Досліджуємо форму гіперболи.

1. Знайдемо точки перетинання з осями.

OX: y = 0, , , A(a;0) , B(-a;0).

OY: x = 0, , .

Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.

2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і початку координат.

3. Þ Þ .

Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.

Побудуємо дану криву.

Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а параметр b називається мнимою піввіссю.

Визначення 4. Прямі називаються асимптотами гіперболи.

При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.

Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі називається ексцентриситетом.

.

Визначення 6. Криві елліпс, гіпербола, окружность називаються кривими другого порядку з ексцентриситетом, причому для окружності , для еліпса і для гіперболи . При гіпербола вироджується в дві рівнобіжні прямі.

Задачі з гіперболою

Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.

1 крок. Будуємо креслення відповідно до умов задачі. По визначенню маємо дві точки — фокуси. Відзначимо ці точки на одній горизонталі, назвемо їх . Проведемо через ці точки пряму лінію. Ця лінія буде віссю ОХ. Із середини відрізка проведемо перпендикуляр. Це буде вісь OY. У такий спосіб ми ввели систему координат і тепер кожна точка на площині має координати.

2 крок. Візьмемо поточну точку , тобто лежачу на гіперболі.

3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з'єднуємо відрізками прямих точку М с фокусами.

4 крок. Зв'яжемо алгебраїчним вираженням координати поточної точки М(x;y) з даними по визначенню гіперболи. Позначимо відстань (фокусна відстань) через 2с. По визначенню гіперболи різниця відстаней від точки М до фокусів є величина постійна незалежно від того, де на гіперболі знаходиться точка М. Позначимо цю відстань через 2а:



Розпишемо відстань по формулі (1). Для цього ми повинні знати координати фокусів (координати точки М — (х;у)). Т.к. відстань те фокуси мають координати Тоді по формулі (1) маємо:


Підставивши ці вираження в рівність (17), одержимо:


.

Цим рівнянням зв'язані координати поточної точки М(х;у) з даними задачі. Отже, воно є рівнянням гіперболи.

5 крок. Спростимо отримане вираження, двічі звівши його в квадрат і позначивши через

(11)

Перейти на сторінку номер:
 1  2 


Подібні реферати:

Інваріантність

Вище ми розглянули деякі системи координат і їх зв’язок між собою, припускаюся, що простір являється евклідовим. Наскільки евклідова геометрія може бути справедлива для фізичних явищ, можна судити тільки з експериментальних даних. На сьогодні по крайній мірі для класичної механіки в області простору з характерними розмірами L з інтервалу 10-13см<<L<<1028см ми можемо на основі експериментальних даних говорити, що евклідова геометрія може бути застосована до фізичних явищ. Внаслідок цього ми можемо сформулювати ...

Задачі нелінійного програмування

У задачах лінійного програмування, які розглядалися раніше, всі невідомі входили як до системи обмежень, так і до цільової функції, у першому степені. Тому ці задачі були досить простими у постановці і за методами розв'язування. Зрозуміло, що ряд економічних задач допускають такі ма­тематичні моделі, до яких невідомі або деяка їх частина вхо­дять нелінійно. Наприклад, нехай критерієм оптимальності є собівартість одиниці виробленої продукції. Очевидно, що вона залежить від розміру підприємства. Так, із збільшен­ням ...

Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності

План Числові ряди. Збіжність і розбіжність Сума ряду Дії над збіжними рядами Необхідна ознака збіжності Гармонічний ряд ЧИСЛОВІ РЯДИ 1 Ряд. Сума ряду Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел Вираз (13.1) називається числовим рядом. При цьому числа називаються членами ряду. Означення 2. Сума скінченого числа перших членів ряду називається ою частинною сумою ряду: . (13.2) Означення 3. Якщо існує скінчена границя (13.3) то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається. Якщо не ...