Search:

Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Реферати » Математика » Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно ма­лою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, почи­наючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишаєть­ся менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є, тобто .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літера­ми α,β,γ.

Наприклад, величина при є нескінченно малою.

Зауваження 1. Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є нескінченно малою, тобто якщо α=0, то нерівність |а|< ви­конується для будь-якого > О,

Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа не­скінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай задано k нескінченно малих величин α1, α2,...,αk. Доведемо, що їх алгебраїчна сума (α1 ± α2 ± ... ± αk) буде величиною нескінченно мстою. Візьмемо скільки завгодно мале > 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть ви­конуватися нерівності:

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

|α1±α2+...±αk||α1| + |α2| + ... + |αk|<+ + ... + = ε

Отже, маємо: |α1±α2+...±αk| ε

Ця нерівність, згідно з означенням 1, означає, що (αl±α2±...±αk) є нескінченно малою величиною. Теорема до­ведена.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай у — обмежена величина, α — нескінченно мала. Для обмеженої величини у існує таке число М, що |у| М. Згідно з означенням нескінченно малої в процесі змінювання a наступить такий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність < — для будь-якого ε > 0. Тому, починаючи з деякого моменту, буде виконуватись нерівність

Ця нерівність означає, що у-а є величиною нескінченно ма­лою, що і треба було довести.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є ве­личина нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих вели­чин є величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини — обмежені величини, тому для них має місце твердження теореми 2.

Означений 2. Змінна величина х називається нескінченно ве­ликою, якщо а процесі її зміни наступиш такий момент, почи­наюча з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додат­ного числа N, тобто >N.

Наприклад, величина 10n при є величина нескінченно великі.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то — нескінченно мала, і навпаки, якщо у — нескінченно мала і у0, то буде нескінченно великою величиною.

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3 


Подібні реферати:

Циліндр

Це фігура, що складається із двох кіл, що сполучають паралельним переносом і всіма відрізками, що з'єднують відповідні крапки цих кіл. Властивості: 1. Основи рівні й паралельні . 2. Твірні рівні й паралельні (із властивостей паралельного переносу, по властивості паралельних площин). Циліндр називається прямим, якщо твірні перпендикулярні основі. У прямому циліндрі : вісь = висота = твірна. Переріз: Осьовий переріз Бічна поверхня циліндра: L-довжина кола L=2ПR ...

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості

План Числова послідовність. Означення границі числової послідовності. Основні теореми про границі. Обчислення деяких границь. Монотонні послідовності. Число е. Верхня та нижня границя. Функціональна послідовність критерій Коші. Уявімо собі натуральний ряд чисел. Зіставимо з довільним числом n відповідно з деяким правилом аn. Упорядкований набір чисел а1, а2, ... аn називається числовою послідовністю. Задати числову послідовність означає задати закон, за яким кожному натуральному n ставиться у відповідність єдине цілком ...

Метод виокреслення лінійно незалежних векторів

1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V. Візьмемо систему векторів а1, а2..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів. а=Х1а1+Х2а2+...Хnan,Xs є R(1) утворює лінійний підпростір V у Rm. Справді, якщо а= в=, Хs, Ys є R а, в є V, то виконується рівність La+Bb =, тобто La+Bb є V. Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1, а2,...,аn, або підпростором, ...