Search:

Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв’язків

Реферати » Математика » Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв’язків

План

Поняття про стійкість розв’язків.

Контрольні запитання:

Які функції описують незбурений розв’язок?

Який розв’язок системи називається стійким за Ляпуновим ?

При яких умовах розв’зок називають нестійким ?

Який розв’язок називають асимптотично стійким ?

Дано рівняння y + y = t з початковою умовою y(0) = 1. Дослідити розв’язок, що задовольняє цю умову, на стійкість.


При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають певним умовам, треба знати, як поводитиметься об’єкт при невеликих перерозподілах сил зміні початкових умов. Той об’єкт, експлуатаційні параметри якого не реагують на ці зміни, називається стійким. Наприклад, при різних відхиленнях маятника від положення рівноваги ( різних початкових умовах ) рух маятника має бути стійким, періодичним. Крило літака має зберегти початкове положення навіть при найменшій зміні початкових умов.

Фізично задача про стійкість може бути поставлена так: розглядається деякий рух, що відповідає заданим початковим умовам. Змінимо початкові умови на малу величину. Якщо далі характер руху залишається попереднім чи зміниться мало, то такий рух називається стійким за Ляпуновим. У цьому тлумаченні стійкості залишалось невизначеним поняття “ мала величина”.

Підійдемо до питання більш строго. Рух кожного об’єкта описується системою диференціальних рівнянь першого порядку, записаних у нормальній формі:

Якщо об’єкт має один степінь вільності, то його рух описується системою:

нелінійною

;

лінійною

У системі (1.1) невідомими є функції часу в системах (1.2) і (1.3)­­­ – та Нехай функції визначені в n-вимірній кулі радіуса R: для і задовольняють там деякі умови, що гарантують існування неперервно диференційованих функцій

які є розв’язком системи (1.1). Доповнимо систему (1.1) початковими умовами. При існує набір чисел взятих з n-вимірної кулі що дає змогу тільки єдиним чином дістати Функції

при цьому переходять у єдину систему частинних розв’язків системи (1.1):


……………………………

Надалі треба буде змінювати початкові умови і відповідно частинні розв’язки. При цьому вважаємо, що ці зміни не виводять функції та початкові умови з області визначення правої частини рівняння (1.1). Дамо означення стійкості розв’язку системи (1.1). Нехай відомий частинний розв’язок системи (1.1). що відповідає початковим умовам при Змінимо початкові умови при Частинний розв’язок, що відповідає цим новим умовам, позначимо Функції описують так званий незбурений розв’язок, а збурений розв’язок .

Перейти на сторінку номер:
 1  2 


Подібні реферати:

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості

План Числова послідовність. Означення границі числової послідовності. Основні теореми про границі. Обчислення деяких границь. Монотонні послідовності. Число е. Верхня та нижня границя. Функціональна послідовність критерій Коші. Уявімо собі натуральний ряд чисел. Зіставимо з довільним числом n відповідно з деяким правилом аn. Упорядкований набір чисел а1, а2, ... аn називається числовою послідовністю. Задати числову послідовність означає задати закон, за яким кожному натуральному n ставиться у відповідність єдине цілком ...

Інтеграл Ейлера

(1)   Функція досягає свого найбільшого значення 1 при t = 0. Отже, при t > 0 і t < 0. Беручи t = ±х2, дістаємо: звідки (2) (3) Підносячи вирази (63) і (64) до степеня з будь-яким натураль­ним показником n, маємо: (4) (5) Інтегруючи нерівність (65) на проміжку від 0 до 1, а нерівність (6) — від 0 до +, дістаємо: . Водночас виконуються такі співвідношення: 1) ; 2) ; 3) . Звідси Підносячи до квадрата і перетворюючи вираз (67), дістаємо: .(7) Із формули Вілліса випливає, що обидва крайні вирази у (68) при п ...

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до­рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна­слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ­номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе­ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на­зивають ...