Search:

Інтегруючий множник

Реферати » Математика » Інтегруючий множник

1.Рівняння в повних диференціалах

Якщо ліва частина диференціального рівняння

є повним диференціалом деякої функції , тобто

,

і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних ди­ференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді

Звідси де - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо

Звідси

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал

,

то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

.

2. Інтегруючий множник

В деяких випадках рівняння

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та дос­татньою умовою цього є рівність

,

або

.

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача ін­тегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція. В цьому випадку одержуємо

Після підстановки в рівняння маємо

,

або

.

Розділимо змінні

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

.

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

.

2) Нехай . Тоді

Перейти на сторінку номер:
 1  2 


Подібні реферати:

Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

План Ознаки порівняння рядів з додатними членами Ознака Даламбера Радикальна ознака Коші Інтегральна ознака Коші 13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми. Нехай задані два ряди з додатними членами (13.4) (13.5) Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто , то із збіжності ряду ...

Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів при вивченні математики

План. І.Вступ. ІІ. Шляхи і методи активізації пізнавальної діяльності учнів на уроці. Розвиток пізнавального інтересу учнів. Прийоми активізації уваги учнів. Використання аналітико-синтетичного методу. Роль проведення короткочасних повідомлень, підготовлених учнями. Творчі завдання - засіб активізації пізнавальної актиності учнів. Шляхи розвитку інтуїції школярів. Дослідницький метод. Проблемний метод. Шляхи формування творчої самостійності учнів. Шляхи вирівнювання знань і вмінь учнів із слабкою підготовкою. ІІІ. ...

Остроградський Михайло Васильйович

Остроградський Михайло Васильович (1801-1862) математик Народився в селi Пашенна на Полтавщині. У 1816—1821 рр. навчався в Харківському університеті. В 1822—1827 рр. вдосконалював математичну освіту у Франції: слухав математичні курси на Паризькому факультеті наук і в Коллеж де Франс, що дозволило йому називати своїми вчителями таких великих французьких учених, як О.Л.Коші, Л.Пуансо, Ж.Ф.М.Біне, Ж.Ш.Ф.Штурма, Г.Ламе. З 1828 р. М.В.Остроградський працював у Петербурзі: у Морському кадетському корпусі, з 1830 р. — в ...